Задача 1
Условие (кратко)
Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — прямоугольник
- \(AC = BD = 10\) см
- \(O\) — точка пересечения диагоналей
- \(\angle AOB = 30^\circ\)
Найти
- \(S_{ABCD}\)
-
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA = OB = OC = OD = 5\) см.
-
Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOA\). Углы при вершине \(O\) равны \(30^\circ\) или \(150^\circ\), а \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\). Значит, площадь каждого треугольника
\[S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 6{,}25 \text{ см}^2.\]
- \(S_{ABCD} = 4 \cdot 6{,}25 = 25\) см².
Ответ
25 см²
Почему так
Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника с одинаковыми сторонами 5 см и синусом угла ½.
Подробнее — в теме «Теорема о площади треугольника».