Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 104

Упражнение 1113 к § 104

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите площадь треугольника ABC, если ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин B и C, равны hb и hc (высота к стороне AC и к стороне AB).

Решение

Дано

Найти

Высота из вершины $$B$$ — это расстояние от $$B$$ до прямой $$AC$$ . Из прямоугольного треугольника, где гипотенуза $$AB$$ , получаем $h_b = AB \sin \alpha$ (если угол $$A$$ тупой, высота падает на продолжение $$AC$$ , острый угол там равен $180^\circ - \alpha$ , а синус тот же). Отсюда $AB = \dfrac{h_b}{\sin \alpha}$ .
Точно так же $h_c = AC \sin \alpha$ , откуда $AC = \dfrac{h_c}{\sin \alpha}$ .
По теореме о площади треугольника

S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{h_b}{\sin \alpha} \cdot \dfrac{h_c}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \dfrac{h_b h_c}{2 \sin \alpha}.

Ответ

S = hb·hc / (2 sin α)

Почему так

Стороны AB и AC выражаем через высоты и синус угла A, затем применяем формулу площади через две стороны и угол.

Условие (кратко)

Найдите площадь треугольника ABC, если ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины B, равна h.

Решение

Дано

Найти

$\angle C = 180^\circ - \alpha - \beta$ , поэтому $\sin C = \sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$ .
Из прямоугольных треугольников $$ABH$$ и $$CBH$$ получаем $h = AB \sin \alpha$ и $h = BC \sin C$ , откуда

AB = \dfrac{h}{\sin \alpha}, \quad BC = \dfrac{h}{\sin(\alpha + \beta)}.

S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \beta = \dfrac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}.

Ответ

S = h²·sin β / (2 sin α · sin(α + β))

Почему так

Стороны AB и BC выражаем через высоту h и синусы углов A и C, затем применяем формулу площади через две стороны и угол между ними.