Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и площадь треугольника ABC.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AC = 12\) см
- \(\angle A = 75^\circ\)
- \(\angle C = 60^\circ\)
Найти
- \(AB\)
- \(S_{ABC}\)
-
\(\angle B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ\).
-
По теореме синусов \(\dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{AC}{\sin B}\), откуда
\[AB = \dfrac{AC \sin C}{\sin B} = \dfrac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}7 \text{ см}.\]
- По теореме о площади треугольника, \(\sin 75^\circ \approx 0{,}9659\):
\[S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \approx \dfrac{1}{2} \cdot 14{,}7 \cdot 12 \cdot 0{,}9659 \approx 85{,}2 \text{ см}^2.\]
Точно: \(\sin 75^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), \(S = 36\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 54 + 18\sqrt{3} \approx 85{,}2\) см².
В ответах учебника указано \(AB \approx 15\) см и \(S \approx 87\) см² — так получается, если сначала округлить \(AB\) до 15 см и уже с ним считать площадь. Без промежуточного округления \(S \approx 85{,}2\) см².
Ответ
AB = 6√6 см ≈ 14,7 см, S = 54 + 18√3 см² ≈ 85,2 см²
Почему так
Третий угол находим по сумме углов, сторону — по теореме синусов, площадь — через две стороны и синус угла между ними.
Подробнее — в теме «Теорема синусов».