Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 105, упражнение 1116

Условие (кратко)

Найдите стороны треугольника ABC, если ∠A = 45°, ∠C = 30°, а высота AD равна 3 м.

Решение

Дано

Найти

$\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$ — тупой, поэтому высота $$AD$$ падает на продолжение стороны $$CB$$ за точку $$B$$ .
В прямоугольном треугольнике $$ADC$$ катет $$AD$$ лежит против угла $30^\circ$ , значит, $$AC = 2AD = 6$$ м.
В прямоугольном треугольнике $$ADB$$ угол $$ABD$$ смежный с углом $$B$$ : $\angle ABD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ . Тогда $AB = \dfrac{AD}{\sin 75^\circ} \approx \dfrac{3}{0{,}9659} \approx 3{,}1$ м.
По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$ , а $\sin 105^\circ = \sin 75^\circ$ :

BC = \dfrac{AC \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \dfrac{6 \cdot 0{,}7071}{0{,}9659} \approx 4{,}4 \text{ м}.

В ответах учебника $AB \approx 3$ м и $BC \approx 4$ м — те же значения, округлённые до целых.

Ответ

AC = 6 м, AB ≈ 3,1 м, BC ≈ 4,4 м

Почему так

Сторону против угла 30° находим из прямоугольного треугольника, остальные — через синус угла и по теореме синусов.

Подробнее — в теме «Теорема синусов».

Упражнение 1116 к § 105