Задача 1
Условие (кратко)
Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(BC = a\)
- \(\angle B = \alpha\)
- \(\angle C = \beta\); \(BB_1\)
- \(CC_1\)
- \(AA_1\) — биссектрисы
Найти
- \(BB_1\)
- \(CC_1\)
- \(AA_1\)
- Биссектриса \(BB_1\). В треугольнике \(BB_1C\) угол \(B\) равен \(\dfrac{\alpha}{2}\), угол \(C\) равен \(\beta\), тогда \(\angle BB_1C = 180^\circ - \dfrac{\alpha}{2} - \beta\), а его синус равен \(\sin\left(\beta + \dfrac{\alpha}{2}\right)\). По теореме синусов
\[BB_1 = \dfrac{a \sin \beta}{\sin\left(\beta + \frac{\alpha}{2}\right)}.\]
- Биссектриса \(CC_1\) — так же из треугольника \(CC_1B\):
\[CC_1 = \dfrac{a \sin \alpha}{\sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right)}.\]
- Биссектриса \(AA_1\). Угол \(A = 180^\circ - \alpha - \beta\), \(\sin A = \sin(\alpha + \beta)\). По теореме синусов в \(\triangle ABC\) сторона \(AB = \dfrac{a \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\).
В треугольнике \(ABA_1\) угол \(B\) равен \(\alpha\), угол \(BAA_1 = \dfrac{180^\circ - \alpha - \beta}{2}\), поэтому
\[\angle AA_1B = 180^\circ - \alpha - 90^\circ + \dfrac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \dfrac{\alpha - \beta}{2}, \quad \sin \angle AA_1B = \cos \gamma, \ \gamma = \dfrac{\alpha - \beta}{2}.\]
По теореме синусов в \(\triangle ABA_1\) находим \(AA_1 = \dfrac{AB \sin \alpha}{\cos \gamma}\), то есть
\[AA_1 = \dfrac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta) \cos \gamma}.\]
Косинус угла не меняется при смене знака, поэтому можно взять \(\gamma = \dfrac{\alpha - \beta}{2}\) при \(\alpha \geqslant \beta\) и \(\gamma = \dfrac{\beta - \alpha}{2}\) при \(\beta > \alpha\) — как в ответах учебника.
Ответ
a·sin β / sin(β + α/2), a·sin α / sin(α + β/2), a·sin α·sin β / (sin(α + β)·cos γ), где γ = |α − β|/2
Почему так
Каждая биссектриса — сторона треугольника, в котором известны сторона и два угла, поэтому её находим по теореме синусов.
Подробнее — в теме «Теорема синусов».