Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 105, упражнение 1122

Условие (кратко)

Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ вписан в окружность радиуса $$R$$ . Доказать: $\dfrac{BC}{\sin A} = 2R$ .

Проведём диаметр $$BA_1$$ , $$BA_1 = 2R$$ .
Пусть $$A_1$$ не совпадает с $$C$$ . Угол $$BCA_1$$ вписанный и опирается на диаметр, поэтому он прямой. В прямоугольном треугольнике $$BCA_1$$ катет $BC = BA_1 \sin A_1 = 2R \sin A_1$ .
Если $$A_1$$ лежит на той же дуге $$BAC$$ , что и $$A$$ , то вписанные углы $$A_1$$ и $$A$$ опираются на одну дугу $$BC$$ , $\angle A_1 = \angle A$ . Если $$A_1$$ лежит на другой дуге, то $$ABA_1C$$ — вписанный четырёхугольник и $\angle A_1 = 180^\circ - \angle A$ . В обоих случаях $\sin A_1 = \sin A$ .
Если $$A_1$$ совпадает с $$C$$ , то $$BC$$ — диаметр, $\angle A = 90^\circ$ (вписанный угол опирается на диаметр), $\sin A = 1$ и $BC = 2R = 2R \sin A$ .

Итак, всегда $BC = 2R \sin A$ , то есть $\dfrac{BC}{\sin A} = 2R$ . Для других сторон рассуждение то же.

Ответ

Утверждение доказано: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Почему так

Диаметр, проведённый из конца стороны, даёт прямоугольный треугольник, а вписанные углы на одну хорду имеют равные синусы.

Подробнее — в теме «Теорема синусов».

Упражнение 1122 к § 105