Задача 1
Условие (кратко)
Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(AB = a\)
- \(AD = b\)
- \(\angle A = \alpha\); \(O\) — точка пересечения диагоналей
Найти
- \(BD\)
- \(AC\) и угол \(\gamma\) между диагоналями
- Диагональ \(BD\) лежит в треугольнике \(ABD\) против угла \(\alpha\). По теореме косинусов
\[BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha.\]
- Диагональ \(AC\) лежит в треугольнике \(ABC\) против угла \(B = 180^\circ - \alpha\), а \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\):
\[AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha.\]
- Обозначим \(d_1 = AC\), \(d_2 = BD\), \(\varphi = \angle AOD\). Диагонали делятся пополам, \(OA = \dfrac{d_1}{2}\), \(OD = \dfrac{d_2}{2}\). По теореме косинусов в треугольниках \(AOD\) и \(AOB\) (угол \(AOB = 180^\circ - \varphi\)):
\[b^2 = \dfrac{d_1^2}{4} + \dfrac{d_2^2}{4} - \dfrac{d_1 d_2}{2} \cos \varphi, \quad a^2 = \dfrac{d_1^2}{4} + \dfrac{d_2^2}{4} + \dfrac{d_1 d_2}{2} \cos \varphi.\]
Вычтем из второго первое: \(a^2 - b^2 = d_1 d_2 \cos \varphi\).
- Угол между диагоналями — острый (или прямой) из углов \(\varphi\) и \(180^\circ - \varphi\), поэтому его косинус берём по модулю. Перемножив выражения из пунктов 1 и 2, получаем \(d_1^2 d_2^2 = (a^2 + b^2)^2 - 4a^2 b^2 \cos^2 \alpha\), откуда
\[\cos \gamma = \dfrac{|a^2 - b^2|}{\sqrt{(a^2 + b^2)^2 - 4a^2 b^2 \cos^2 \alpha}}.\]
При \(a = b\) (ромб) \(\cos \gamma = 0\) и \(\gamma = 90^\circ\), как и должно быть. В ответах учебника формула записана без модуля, для угла \(\gamma\) между векторами-диагоналями.
Ответ
√(a² + b² − 2ab·cos α), √(a² + b² + 2ab·cos α); cos γ = |a² − b²| / √((a² + b²)² − 4a²b²cos²α)
Почему так
Каждая диагональ — третья сторона треугольника с двумя сторонами параллелограмма, а угол между диагоналями находим теоремой косинусов в треугольниках из половин диагоналей.
Подробнее — в теме «Теорема косинусов».