Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 106

Упражнение 1120 к § 106

§ 106. Теорема косинусов · тема: Теорема косинусов

Задача 1

Условие (кратко)

Выясните, является ли треугольник со сторонами 5, 4 и 4 остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Решение

Дано

стороны треугольника 5
4
4

Найти

вид треугольника по углам

Наибольший угол лежит против наибольшей стороны 5. По теореме косинусов $5^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos \alpha$ , откуда

\cos \alpha = \dfrac{16 + 16 - 25}{32} = \dfrac{7}{32} > 0.

Косинус положительный, значит, наибольший угол острый, а остальные углы тем более острые.

Ответ

Остроугольный

Почему так

Вид угла против наибольшей стороны определяется знаком косинуса — сравнением c² с a² + b².

Подробнее — в теме «Теорема косинусов».

Задача 2

Условие (кратко)

Выясните, является ли треугольник со сторонами 17, 8 и 15 остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Решение

Дано

стороны треугольника 17
8
15

Найти

вид треугольника по углам

Наибольшая сторона 17. Сравним: $$17^2 = 289$$ , $$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ . По теореме косинусов $\cos \alpha = \dfrac{64 + 225 - 289}{2 \cdot 8 \cdot 15} = 0$ , угол против стороны 17 равен $90^\circ$ .

Ответ

Прямоугольный

Почему так

Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, косинус противолежащего угла равен нулю и угол прямой.

Подробнее — в теме «Теорема косинусов».

Задача 3

Условие (кратко)

Выясните, является ли треугольник со сторонами 9, 5 и 6 остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Решение

Дано

стороны треугольника 9
5
6

Найти

вид треугольника по углам

Наибольшая сторона 9. По теореме косинусов

\cos \alpha = \dfrac{5^2 + 6^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{25 + 36 - 81}{60} = -\dfrac{1}{3} < 0,

значит, угол против стороны 9 тупой.

Ответ

Тупоугольный

Почему так

Косинус угла против наибольшей стороны отрицателен, поэтому этот угол тупой.

Подробнее — в теме «Теорема косинусов».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки