Задача 1
Условие (кратко)
Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.
Решение
Дано
- \(F_1 = F_2 = F\)
- угол между силами \(72^\circ\)
- равнодействующая \(R = 120\) кг
Найти
- \(F\)
-
Равнодействующая изображается диагональю параллелограмма (здесь ромба), построенного на векторах сил. В треугольнике из двух сторон ромба и этой диагонали угол между сторонами равен \(180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\).
-
По теореме косинусов, учитывая \(\cos 108^\circ = -\cos 72^\circ\):
\[R^2 = F^2 + F^2 - 2F^2 \cos 108^\circ = 2F^2(1 + \cos 72^\circ).\]
- \(\cos 72^\circ \approx 0{,}3090\), поэтому
\[F = \dfrac{R}{\sqrt{2(1 + \cos 72^\circ)}} \approx \dfrac{120}{\sqrt{2{,}618}} \approx \dfrac{120}{1{,}618} \approx 74{,}2 \text{ кг}.\]
Здесь «кг» — килограмм-сила, старая единица силы, как в условии учебника.
Ответ
≈ 74,2 кг (каждая сила)
Почему так
Равнодействующая — диагональ ромба на векторах сил; её длину связывает со сторонами теорема косинусов.
Подробнее — в теме «Теорема косинусов».