Задача 1
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Найдите острый угол между хордами, если AB = 13 см, CE = 9 см, ED = 4 см, BD = 4√3 см.
Решение
- хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\)
- \(AB = 13\) см
- \(CE = 9\) см
- \(ED = 4\) см
- \(BD = 4\sqrt{3}\) см
- острый угол между хордами
-
По свойству пересекающихся хорд \(AE \cdot EB = CE \cdot ED = 36\), а \(AE + EB = 13\). Числа с суммой 13 и произведением 36 — это 4 и 9. Значит, \(EB = 4\) см или \(EB = 9\) см.
-
Угол между хордами найдём из треугольника \(BED\) по теореме косинусов: \(\cos \angle BED = \dfrac{EB^2 + ED^2 - BD^2}{2 \cdot EB \cdot ED}\), где \(BD^2 = 48\).
-
Если \(EB = 4\) см: \(\cos \angle BED = \dfrac{16 + 16 - 48}{32} = -\dfrac{1}{2}\), \(\angle BED = 120^\circ\). Острый угол между хордами (смежный) равен \(60^\circ\).
-
Если \(EB = 9\) см: \(\cos \angle BED = \dfrac{81 + 16 - 48}{72} = \dfrac{49}{72} \approx 0{,}6806\), \(\angle BED \approx 47{,}11^\circ \approx 47^\circ 07'\). Этот угол острый.
Оба случая возможны, поэтому ответов два.
Ответ
Отрезки хорды находим по свойству пересекающихся хорд, а угол — по теореме косинусов в треугольнике BED.
Подробнее — в теме «Теорема косинусов».