Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 107

Упражнение 1114 к § 107

§ 107. Решение треугольников · тема: Решение треугольников

Задача 1

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если ∠A = 60°, ∠B = 40°, c = 14.

Решение

Дано

$\angle A = 60^\circ$
$\angle B = 40^\circ$
$$c = 14$$

Найти

$\angle C$
$$a$$
$$b$$

$\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ$ .
По теореме синусов $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ :

a = \dfrac{c \sin A}{\sin C} = \dfrac{14 \cdot 0{,}8660}{0{,}9848} \approx 12{,}3, \quad b = \dfrac{c \sin B}{\sin C} = \dfrac{14 \cdot 0{,}6428}{0{,}9848} \approx 9{,}1.

Ответ

∠C = 80°, a ≈ 12,3, b ≈ 9,1

Почему так

По стороне и двум углам третий угол находим по сумме углов, а стороны — по теореме синусов.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если ∠A = 30°, ∠C = 75°, b = 4,5.

Решение

Дано

$\angle A = 30^\circ$
$\angle C = 75^\circ$
$$b = 4{,}5$$

Найти

$\angle B$
$$a$$
$$c$$

$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$ .
$\angle B = \angle C$ , поэтому треугольник равнобедренный и $$c = b = 4{,}5$$ .
По теореме синусов $a = \dfrac{b \sin A}{\sin B} = \dfrac{4{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}9659} \approx 2{,}3$ .

Ответ

∠B = 75°, c = 4,5, a ≈ 2,3

Почему так

По стороне и двум углам третий угол находим по сумме углов, а стороны — по теореме синусов.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 3

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если ∠A = 80°, a = 16, b = 10.

Решение

Дано

$\angle A = 80^\circ$
$$a = 16$$
$$b = 10$$

Найти

$\angle B$
$\angle C$
$$c$$

По теореме синусов $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a} = \dfrac{10 \cdot 0{,}9848}{16} \approx 0{,}6155$ .
Так как $$b < a$$ , угол $$B$$ меньше угла $$A$$ и поэтому острый: $\angle B \approx 37{,}99^\circ \approx 37^\circ 59'$ .
$\angle C = 180^\circ - 80^\circ - 37^\circ 59' = 62^\circ 01'$ .
$c = \dfrac{a \sin C}{\sin A} \approx \dfrac{16 \cdot 0{,}8830}{0{,}9848} \approx 14{,}3$ (в ответах учебника — $c \approx 14$ , округлено до целых).

Ответ

∠B ≈ 37°59′, ∠C ≈ 62°01′, c ≈ 14,3

Почему так

По двум сторонам и углу против одной из них сначала находим синус второго угла по теореме синусов; против меньшей стороны угол острый.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 4

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если ∠B = 45°, ∠C = 70°, a = 24,6.

Решение

Дано

$\angle B = 45^\circ$
$\angle C = 70^\circ$
$$a = 24{,}6$$

Найти

$\angle A$
$$b$$
$$c$$

$\angle A = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$ .
По теореме синусов:

b = \dfrac{a \sin B}{\sin A} = \dfrac{24{,}6 \cdot 0{,}7071}{0{,}9063} \approx 19{,}2, \quad c = \dfrac{a \sin C}{\sin A} = \dfrac{24{,}6 \cdot 0{,}9397}{0{,}9063} \approx 25{,}5.

Ответ

∠A = 65°, b ≈ 19,2, c ≈ 25,5

Почему так

По стороне и двум прилежащим углам третий угол находим по сумме углов, а стороны — по теореме синусов.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 5

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если ∠A = 60°, a = 10, b = 7.

Решение

Дано

$\angle A = 60^\circ$
$$a = 10$$
$$b = 7$$

Найти

$\angle B$
$\angle C$
$$c$$

По теореме синусов $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a} = \dfrac{7 \cdot 0{,}8660}{10} \approx 0{,}6062$ .
$$b < a$$ , поэтому угол $$B$$ острый: $\angle B \approx 37{,}32^\circ \approx 37^\circ 19'$ .
$\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 37^\circ 19' = 82^\circ 41'$ .
$c = \dfrac{a \sin C}{\sin A} \approx \dfrac{10 \cdot 0{,}9919}{0{,}8660} \approx 11{,}5$ (в ответах учебника — $c \approx 11$ ).

Ответ

∠B ≈ 37°19′, ∠C ≈ 82°41′, c ≈ 11,5

Почему так

По двум сторонам и углу против большей из них второй угол находим по теореме синусов — он острый и единственный.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 6

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если a = 6,3, b = 6,3, ∠C = 54°.

Решение

Дано

$$a = b = 6{,}3$$
$\angle C = 54^\circ$

Найти

$$c$$
$\angle A$
$\angle B$

По теореме косинусов, $\cos 54^\circ \approx 0{,}5878$ :

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 2 \cdot 6{,}3^2 \cdot (1 - 0{,}5878) \approx 32{,}72, \quad c \approx 5{,}7.

Треугольник равнобедренный ( $$a = b$$ ), углы при основании $$c$$ равны: $\angle A = \angle B = \dfrac{180^\circ - 54^\circ}{2} = 63^\circ$ .

Ответ

c ≈ 5,7, ∠A = ∠B = 63°

Почему так

По двум сторонам и углу между ними третью сторону находим по теореме косинусов, а равные углы — из суммы углов.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 7

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если b = 32, c = 45, ∠A = 87°.

Решение

Дано

$$b = 32$$
$$c = 45$$
$\angle A = 87^\circ$

Найти

$$a$$
$\angle B$
$\angle C$

По теореме косинусов, $\cos 87^\circ \approx 0{,}0523$ :

a^2 = 32^2 + 45^2 - 2 \cdot 32 \cdot 45 \cdot \cos 87^\circ \approx 3049 - 150{,}7 = 2898{,}3, \quad a \approx 53{,}84.

Угол $$B$$ лежит против меньшей стороны, он острый. По теореме синусов $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a} \approx \dfrac{32 \cdot 0{,}9986}{53{,}84} \approx 0{,}5936$ , $\angle B \approx 36{,}41^\circ \approx 36^\circ 25'$ .
$\angle C = 180^\circ - 87^\circ - 36^\circ 25' = 56^\circ 35'$ .

В ответах учебника напечатано $a \approx 58{,}84$ — это опечатка: $a^2 \approx 2898$ , $a \approx 53{,}84$ . Углы там даны как $\angle B \approx 36^\circ 18'$ , $\angle C \approx 56^\circ 42'$ — они тоже неточны (расходятся с расчётом на 7′). Проверка: при $a \approx 53{,}84$ по теореме косинусов $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \approx 0{,}8048$ , $\angle B \approx 36^\circ 25'$ , так что верны $36^\circ 25'$ и $56^\circ 35'$ .

Ответ

a ≈ 53,84, ∠B ≈ 36°25′, ∠C ≈ 56°35′

Почему так

По двум сторонам и углу между ними третью сторону находим по теореме косинусов, затем угол против меньшей стороны — по теореме синусов.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 8

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если a = 14, b = 18, c = 20.

Решение

Дано

$$a = 14$$
$$b = 18$$
$$c = 20$$

Найти

$\angle A$
$\angle B$
$\angle C$

По теореме косинусов:

\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{324 + 400 - 196}{720} = \dfrac{528}{720} \approx 0{,}7333, \quad \angle A \approx 42{,}83^\circ \approx 42^\circ 50'.

$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \dfrac{196 + 400 - 324}{560} = \dfrac{272}{560} \approx 0{,}4857, \quad \angle B \approx 60{,}94^\circ \approx 60^\circ 56'.$
$\angle C = 180^\circ - 42^\circ 50' - 60^\circ 56' = 76^\circ 14'$ .

В ответах учебника $\angle B \approx 60^\circ 57'$ , $\angle C \approx 76^\circ 13'$ — разница в минуту из-за округления.

Ответ

∠A ≈ 42°50′, ∠B ≈ 60°56′, ∠C ≈ 76°14′

Почему так

По трём сторонам два угла находим по теореме косинусов, третий — по сумме углов треугольника.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 9

Условие (кратко)

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если a = 6, b = 7,3, c = 4,8.

Решение

Дано

$$a = 6$$
$$b = 7{,}3$$
$$c = 4{,}8$$

Найти

$\angle A$
$\angle B$
$\angle C$

По теореме косинусов:

\cos A = \dfrac{7{,}3^2 + 4{,}8^2 - 6^2}{2 \cdot 7{,}3 \cdot 4{,}8} = \dfrac{53{,}29 + 23{,}04 - 36}{70{,}08} \approx 0{,}5755, \quad \angle A \approx 54{,}87^\circ \approx 54^\circ 52'.

$\cos B = \dfrac{6^2 + 4{,}8^2 - 7{,}3^2}{2 \cdot 6 \cdot 4{,}8} = \dfrac{36 + 23{,}04 - 53{,}29}{57{,}6} \approx 0{,}0998, \quad \angle B \approx 84{,}27^\circ \approx 84^\circ 16'.$
$\angle C = 180^\circ - 54^\circ 52' - 84^\circ 16' = 40^\circ 52'$ .

Ответ

∠A ≈ 54°52′, ∠B ≈ 84°16′, ∠C ≈ 40°52′

Почему так

По трём сторонам два угла находим по теореме косинусов, третий — по сумме углов треугольника.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Похожие задачи для тренировки