Задача 1
В параллелограмме ABCD AD = 7 1/3 м, BD = 4,4 м, ∠A = 22°30′. Найдите ∠BDC и ∠DBC.
Решение
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(AD = 7\dfrac{1}{3}\) м
- \(BD = 4{,}4\) м
- \(\angle A = 22^\circ 30'\)
- \(\angle BDC\)
- \(\angle DBC\)
- В треугольнике \(ABD\) известны две стороны и угол против одной из них. По теореме синусов \(\dfrac{AD}{\sin \angle ABD} = \dfrac{BD}{\sin A}\):
-
Синусу \(0{,}6378\) соответствуют два угла: \(\angle ABD \approx 39^\circ 38'\) или \(\angle ABD \approx 180^\circ - 39^\circ 38' = 140^\circ 22'\). Оба подходят: в каждом случае сумма с углом \(A\) меньше \(180^\circ\). Сторона \(BD\) (против угла \(A\)) меньше \(AD\), но больше \(AD \sin A \approx 2{,}8\) м, поэтому треугольников два.
-
\(AB \parallel CD\), поэтому \(\angle BDC = \angle ABD\) (накрест лежащие). \(BC \parallel AD\), поэтому \(\angle DBC = \angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD\).
-
Первый случай: \(\angle BDC \approx 39^\circ 38'\), \(\angle DBC \approx 180^\circ - 22^\circ 30' - 39^\circ 38' = 117^\circ 52'\).
Второй случай: \(\angle BDC \approx 140^\circ 22'\), \(\angle DBC \approx 180^\circ - 22^\circ 30' - 140^\circ 22' = 17^\circ 08'\).
Ответ
По двум сторонам и углу против меньшей из них теорема синусов даёт два возможных угла, а накрест лежащие углы переносят их в треугольник BCD.
Подробнее — в теме «Решение треугольников».