Задача 1
Условие (кратко)
В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании 70°. Найдите периметр трапеции.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(AD = 10\) см
- \(BC = AB = CD = x\)
- \(\angle A = 70^\circ\)
Найти
- \(P_{ABCD}\)
-
Проведём высоты \(BH\) и \(CK\). \(HBCK\) — прямоугольник, \(HK = BC = x\), а \(AH = KD\) (прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(DCK\) равны по гипотенузе и острому углу).
-
Из прямоугольного треугольника \(ABH\) получаем \(AH = AB \cos 70^\circ = x \cos 70^\circ\).
-
\(AD = AH + HK + KD\), то есть \(10 = x + 2x \cos 70^\circ\), откуда, при \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\):
\[x = \dfrac{10}{1 + 2\cos 70^\circ} \approx \dfrac{10}{1{,}684} \approx 5{,}94 \text{ см}.\]
- \(P = 10 + 3x \approx 10 + 17{,}81 \approx 27{,}8\) см.
В ответах учебника — \(\approx 28\) см, то же значение, округлённое до целых.
Ответ
P ≈ 27,8 см (≈ 28 см)
Почему так
Большее основание раскладывается на меньшее и две проекции боковых сторон, каждая равна x·cos 70°.
Подробнее — в теме «Решение треугольников».