Задача 1
(Задание для работы в группе.) На горе стоит башня высотой 100 м. Предмет A у подножия горы видно с вершины B башни под углом 60° к горизонту, с её основания C — под углом 30°. Найдите высоту H горы.
Решение
- \(BC = 100\) м — башня
- \(C\) на вершине горы; предмет \(A\) виден из \(B\) под углом \(60^\circ\) к горизонту
- из \(C\) — под углом \(30^\circ\)
- высоту горы \(H\)
-
Башня вертикальна, а горизонталь перпендикулярна ей. Поэтому в треугольнике \(ABC\) угол \(ABC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\), угол \(BCA = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\).
-
\(\angle BAC = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ\). Углы \(A\) и \(B\) равны, значит, треугольник равнобедренный: \(AC = BC = 100\) м (то же даёт теорема синусов: \(AC = \dfrac{BC \sin 30^\circ}{\sin 30^\circ}\)).
-
Высота горы — вертикальный катет прямоугольного треугольника с гипотенузой \(AC\) и углом \(30^\circ\) при вершине \(A\) (угол с горизонтом):
Ответ
Углы с горизонтом переводим в углы треугольника ABC, решаем его теоремой синусов и находим высоту через синус угла.
Подробнее — в теме «Решение треугольников».