Упражнение 1128 к § 109

Оба вектора отложены от точки \(A\), поэтому угол между ними — это \(\angle BAC\).

Диагональ квадрата делит его прямой угол пополам, значит, \(\angle BAC = 90^\circ : 2 = 45^\circ\).

Отложим \(\overrightarrow{DA}\) от точки \(A\): получим вектор, равный \(\overrightarrow{DA}\), который идёт по продолжению стороны \(DA\) за точку \(A\).

Прямая \(DA\) перпендикулярна \(AB\), поэтому этот вектор образует с \(\overrightarrow{AB}\) прямой угол: \(90^\circ\).

Векторы отложены от общей точки \(O\), угол между ними — \(\angle AOB\).

Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(\angle AOB = 90^\circ\).

Отложим оба вектора от точки \(O\): \(\overrightarrow{AO}\) равен вектору \(\overrightarrow{OC}\) (точка \(O\) — середина \(AC\)). Значит, искомый угол — \(\angle COB\).

Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(\angle COB = 90^\circ\).

Точки \(A\), \(O\), \(C\) лежат на одной прямой, причём \(O\) между \(A\) и \(C\). Векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) направлены в противоположные стороны.

Угол между противоположно направленными векторами равен \(180^\circ\).

Отложим векторы от точки \(O\): \(\overrightarrow{AC}\) сонаправлен с \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{BD}\) сонаправлен с \(\overrightarrow{OD}\). Угол между ними равен \(\angle COD\).

Диагонали квадрата перпендикулярны, \(\angle COD = 90^\circ\).

Отложим оба вектора от точки \(D\). Вектор \(\overrightarrow{AD}\), отложенный от \(D\), идёт по продолжению стороны \(AD\) за точку \(D\); вектор \(\overrightarrow{DB}\) идёт по диагонали.

\(\angle ADB = 45^\circ\) (диагональ делит прямой угол пополам), а искомый угол — смежный с ним: \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).

\(O\) — середина \(AC\), поэтому \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}\): векторы сонаправлены.

Угол между сонаправленными векторами по определению равен \(0^\circ\).