Упражнение 1129 к § 109

В треугольнике \(ABD\) все стороны равны (\(AB = AD\) как стороны ромба, \(BD = AB\) по условию), он равносторонний, \(\angle BAD = 60^\circ\).

Векторы отложены от точки \(A\), поэтому угол между ними равен \(\angle BAD = 60^\circ\).

\(\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}\). Отложенный от \(A\), он идёт по продолжению стороны \(DA\) за точку \(A\) и образует с \(\overrightarrow{AB}\) угол, смежный с \(\angle BAD\):

\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

\(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\), а угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равен \(60^\circ\). Противоположный вектор даёт смежный угол:

\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Векторы отложены от \(O\), угол между ними — \(\angle COD\). Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \(\angle COD = 90^\circ\).

В учебнике в пункте д) повторена пара из пункта б) — \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}\). Для неё угол, как и в б), равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

В ответах учебника указано \(0^\circ\) — это угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\): у ромба \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), векторы сонаправлены, угол между ними \(0^\circ\). Скорее всего, в условии опечатка.

Поэтому ответов два, в таком порядке: 1) для пары, напечатанной в условии, — \(120^\circ\); 2) для пары \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) — \(0^\circ\).

Противоположные стороны ромба параллельны и равны, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), поэтому \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\).

Векторы противоположно направлены, угол между ними \(180^\circ\).