Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 110

Упражнение 1131 к § 110

§ 110. Скалярное произведение векторов · тема: Угол между векторами. Скалярное произведение

Задача 1

Условие (кратко)

В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов AB и AC.

Решение

Дано

$\triangle ABC$ равносторонний
сторона $$a$$

Найти

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

Векторы отложены от точки $$A$$ , угол между ними $\angle BAC = 60^\circ$ .

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}a^2$ .

Ответ

a²/2

Почему так

Угол между векторами с общим началом A — угол треугольника при вершине A.

Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».

Задача 2

Условие (кратко)

В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов AC и CB.

Решение

Дано

$\triangle ABC$ равносторонний
сторона $$a$$

Найти

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}$

Отложим оба вектора от точки $$C$$ : $\overrightarrow{AC}$ пойдёт по продолжению стороны $$AC$$ за точку $$C$$ , а $\overrightarrow{CB}$ — по стороне. Угол между ними смежный с $\angle ACB = 60^\circ$ , то есть $120^\circ$ .

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = a^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}a^2$ .

Ответ

−a²/2

Почему так

Векторы AC и CB идут «друг за другом», поэтому угол между ними 180° − 60° = 120°, а не 60°.

Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».

Задача 3

Условие (кратко)

В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов AC и BD.

Решение

Дано

$\triangle ABC$ равносторонний
$$BD$$ — высота

Найти

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$

Высота $$BD$$ перпендикулярна стороне $$AC$$ , поэтому $\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}$ и $\cos 90^\circ = 0$ .

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ .

Ответ

Почему так

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».

Задача 4

Условие (кратко)

В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение AC · AC.

Решение

Дано

$$AC = a$$

Найти

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}$

Это скалярный квадрат вектора, он равен квадрату длины: $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2 = a^2$ .

Ответ

a²

Почему так

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки