Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что ненулевые векторы a{x; y} и b{−y; x} перпендикулярны.
Решение
Дано: \(\vec{a}\{x; y\}\), \(\vec{b}\{-y; x\}\), векторы ненулевые. Доказать: \(\vec{a} \perp \vec{b}\).
- По формуле скалярного произведения в координатах: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot (-y) + y \cdot x = -xy + xy = 0\).
- Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (следствие 1). Значит, \(\vec{a} \perp \vec{b}\).
Ответ
Утверждение доказано: скалярное произведение равно 0, поэтому векторы перпендикулярны
Почему так
Признак перпендикулярности ненулевых векторов — x₁x₂ + y₁y₂ = 0.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».