Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что векторы i + j и i − j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы.
Решение
Дано: \(\vec{i}\{1; 0\}\), \(\vec{j}\{0; 1\}\) — координатные векторы. Доказать: \((\vec{i} + \vec{j}) \perp (\vec{i} - \vec{j})\).
- Координаты: \(\vec{i} + \vec{j}\,\{1; 1\}\), \(\vec{i} - \vec{j}\,\{1; -1\}\). Оба вектора ненулевые.
- Скалярное произведение: \(1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0\).
- Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, значит, они перпендикулярны.
Ответ
Утверждение доказано: (i + j) · (i − j) = 0, векторы перпендикулярны
Почему так
Ненулевые векторы перпендикулярны, если сумма произведений их координат равна нулю.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».