Задача 1
Условие (кратко)
Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A(2; 8), B(−1; 5), C(3; 1).
Решение
Дано
- \(A(2; 8)\)
- \(B(-1; 5)\)
- \(C(3; 1)\)
Найти
- \(\cos A\)
- \(\cos B\)
- \(\cos C\)
Угол треугольника при вершине — угол между векторами, идущими из этой вершины к двум другим.
- \(\overrightarrow{AB}\{-3; -3\}\), \(\overrightarrow{AC}\{1; -7\}\); \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). \(\cos A = \dfrac{(-3) \cdot 1 + (-3)(-7)}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\).
- \(\overrightarrow{BA}\{3; 3\}\), \(\overrightarrow{BC}\{4; -4\}\): \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 12 - 12 = 0\), поэтому \(\cos B = 0\) (угол \(B\) прямой).
- \(\overrightarrow{CA}\{-1; 7\}\), \(\overrightarrow{CB}\{-4; 4\}\); \(|\overrightarrow{CA}| = 5\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{CB}| = 4\sqrt{2}\). \(\cos C = \dfrac{(-1)(-4) + 7 \cdot 4}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \dfrac{32}{40} = \dfrac{4}{5}\).
Ответ
cos A = 3/5, cos B = 0, cos C = 4/5
Почему так
Косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение длин.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».