Задача 1
Условие (кратко)
Найдите углы треугольника с вершинами A(−1; √3), B(1; −√3) и C(1/2; √3).
Решение
Дано
- \(A(-1; \sqrt{3})\)
- \(B(1; -\sqrt{3})\)
- \(C\left(\dfrac{1}{2}; \sqrt{3}\right)\)
Найти
- \(\angle A\)
- \(\angle B\)
- \(\angle C\)
- \(\overrightarrow{AB}\{2; -2\sqrt{3}\}\), \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4 + 12} = 4\); \(\overrightarrow{AC}\left\{\dfrac{3}{2}; 0\right\}\), \(|\overrightarrow{AC}| = \dfrac{3}{2}\). \(\cos A = \dfrac{2 \cdot \frac{3}{2} + 0}{4 \cdot \frac{3}{2}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\), поэтому \(\angle A = 60^\circ\).
- \(\overrightarrow{BA}\{-2; 2\sqrt{3}\}\), \(\overrightarrow{BC}\left\{-\dfrac{1}{2}; 2\sqrt{3}\right\}\), \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 12} = \dfrac{7}{2}\). \(\cos B = \dfrac{(-2)\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot \frac{7}{2}} = \dfrac{1 + 12}{14} = \dfrac{13}{14} \approx 0{,}9286\), по таблицам или калькулятору \(\angle B \approx 21^\circ 47'\).
- \(\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 21^\circ 47' = 98^\circ 13'\).
Ответ
∠A = 60°, ∠B ≈ 21°47′, ∠C ≈ 98°13′
Почему так
Углы находят по формуле косинуса угла между векторами в координатах, третий угол — по сумме углов треугольника.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».