Задача 1
Условие (кратко)
К одной точке приложены две силы P и Q, действующие под углом 120° друг к другу, |P| = 8, |Q| = 15. Найдите величину равнодействующей силы R.
Решение
Дано
- \(|\vec{P}| = 8\)
- \(|\vec{Q}| = 15\)
- \(\angle(\vec{P}, \vec{Q}) = 120^\circ\)
- \(\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}\)
Найти
- \(|\vec{R}|\)
- Скалярный квадрат равен квадрату длины, а по свойствам скалярного произведения \(|\vec{R}|^2 = (\vec{P} + \vec{Q})^2 = \vec{P}^2 + 2\vec{P} \cdot \vec{Q} + \vec{Q}^2\).
- \(\vec{P} \cdot \vec{Q} = 8 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ = 120 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -60\).
- \(|\vec{R}|^2 = 64 - 120 + 225 = 169\), \(|\vec{R}| = 13\).
Тот же результат даёт теорема косинусов для треугольника, построенного по правилу параллелограмма: угол в нём между сторонами 8 и 15 равен \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Ответ
13
Почему так
Длину суммы векторов находят через скалярный квадрат (P + Q)² = P² + 2P·Q + Q².
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».