Задача 1
Условие (кратко)
Вычислите |a + b| и |a − b|, если |a| = 5, |b| = 8, угол между векторами a и b равен 60°.
Решение
Дано
- \(|\vec{a}| = 5\)
- \(|\vec{b}| = 8\)
- \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ\)
Найти
- \(|\vec{a} + \vec{b}|\)
- \(|\vec{a} - \vec{b}|\)
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 20\).
- \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 25 + 40 + 64 = 129\), \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{129}\).
- \(|\vec{a} - \vec{b}|^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 25 - 40 + 64 = 49\), \(|\vec{a} - \vec{b}| = 7\).
Ответ
|a + b| = √129, |a − b| = 7
Почему так
Квадрат длины суммы или разности раскрывают по свойствам скалярного произведения, как квадрат суммы.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».