Задача 1
Условие (кратко)
Вычислите скалярное произведение векторов p = a − b − c и q = a − b + c, если |a| = 5, |b| = 2, |c| = 4 и a ⊥ b.
Решение
Дано
- \(\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\)
- \(\vec{q} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\)
- \(|\vec{a}| = 5\)
- \(|\vec{b}| = 2\)
- \(|\vec{c}| = 4\)
- \(\vec{a} \perp \vec{b}\)
Найти
- \(\vec{p} \cdot \vec{q}\)
- Обозначим \(\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}\). Тогда \(\vec{p} = \vec{d} - \vec{c}\), \(\vec{q} = \vec{d} + \vec{c}\) и по свойствам скалярного произведения \(\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{d}^2 - \vec{c}^2\).
- \(\vec{d}^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 25 - 0 + 4 = 29\) (так как \(\vec{a} \perp \vec{b}\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)).
- \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 29 - 16 = 13\).
Ответ
13
Почему так
Скалярное умножение подчиняется тем же правилам раскрытия скобок, что и умножение чисел, а скалярный квадрат равен квадрату длины.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».