Задача 1
Условие (кратко)
Вычислите скалярное произведение векторов a = 3p − 2q и b = p + 4q, где p и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
Решение
Дано
- \(\vec{a} = 3\vec{p} - 2\vec{q}\)
- \(\vec{b} = \vec{p} + 4\vec{q}\)
- \(|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1\)
- \(\vec{p} \perp \vec{q}\)
Найти
- \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
- Раскроем скобки: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\vec{p}^2 + 12\vec{p} \cdot \vec{q} - 2\vec{q} \cdot \vec{p} - 8\vec{q}^2\).
- \(\vec{p}^2 = \vec{q}^2 = 1\), \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 0\).
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 0 - 0 - 8 = -5\).
Иначе: \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) можно принять за координатные векторы, тогда \(\vec{a}\{3; -2\}\), \(\vec{b}\{1; 4\}\) и \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 - 8 = -5\).
Ответ
−5
Почему так
Для единичных перпендикулярных векторов p² = q² = 1 и p · q = 0.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».