Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM² = AB² + AC² + 2AB · AC · cos A. С помощью этой формулы докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(M\) — середина \(BC\). Доказать: \(4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A\); медианы к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны.
- \(M\) — середина \(BC\), поэтому \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\), то есть \(2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
- Возведём в скалярный квадрат: \(4AM^2 = \overrightarrow{AB}^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2 = AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A + AC^2\). Первое утверждение доказано.
- Пусть \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\): \(AB = CB\), \(\angle A = \angle C\). Медиана \(AM\) проведена к боковой стороне \(BC\), медиана \(CN\) — к боковой стороне \(AB\).
- По доказанной формуле: \(4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cos A\) и \(4CN^2 = CB^2 + CA^2 + 2CB \cdot CA \cos C\).
- Правые части равны, так как \(AB = CB\) и \(\cos A = \cos C\). Значит, \(AM^2 = CN^2\) и \(AM = CN\).
Ответ
Утверждение доказано: формула верна, и медианы к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны
Почему так
Вектор медианы — полусумма векторов сторон, а квадрат его длины — скалярный квадрат.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».