Задача 1
Условие (кратко)
Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(CA = CB\)
- \(AA_1\) и \(BB_1\) — медианы к боковым сторонам
- \(AA_1 \perp BB_1\)
Найти
- \(\angle C\)
- Обозначим \(\vec{a} = \overrightarrow{CA_1}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{CB_1}\); \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = m\) (половины равных боковых сторон).
- \(\overrightarrow{CA} = 2\vec{b}\), \(\overrightarrow{CB} = 2\vec{a}\), поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \vec{a} - 2\vec{b}\), \(\overrightarrow{BB_1} = \vec{b} - 2\vec{a}\).
- Медианы перпендикулярны, значит, \((\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{b} - 2\vec{a}) = 0\), то есть \(5\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a}^2 - 2\vec{b}^2 = 0\).
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = m^2 \cos C\), \(\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = m^2\), поэтому \(5m^2 \cos C - 4m^2 = 0\), откуда \(\cos C = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\).
- По таблицам или калькулятору \(\angle C \approx 36^\circ 52'\).
Ответ
∠C ≈ 36°52′ (cos C = 4/5)
Почему так
Условие перпендикулярности медиан записывают как равенство нулю скалярного произведения их векторов.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».