Задача 1
Условие (кратко)
Докажите с помощью скалярного произведения, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Решение
Дано: \(ABCD\) — ромб. Доказать: \(AC \perp BD\).
- Обозначим \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\); у ромба \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\).
- По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}\), по правилу вычитания \(\overrightarrow{BD} = \vec{b} - \vec{a}\).
- \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b}^2 - \vec{a}^2 = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0\).
- Векторы диагоналей ненулевые, а их скалярное произведение равно нулю, значит, \(AC \perp BD\).
Ответ
Утверждение доказано: AC · BD = b² − a² = 0, диагонали ромба перпендикулярны
Почему так
Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».