Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 113

Упражнение 1172 к § 113

§ 113. Правильный многоугольник · тема: Правильные многоугольники

Задача 1

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 60°?

Решение

Дано

$\alpha_n = 60^\circ$

Найти

$$n$$

Внешний угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ . Сумма внешних углов правильного многоугольника равна $360^\circ$ (задача 1171), поэтому

n = \dfrac{360^\circ}{120^\circ} = 3.

Это правильный треугольник.

Ответ

Почему так

Внешний угол правильного n-угольника равен 360°/n, поэтому n равно 360°, делённым на (180° − α).

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задача 2

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 90°?

Решение

Дано

$\alpha_n = 90^\circ$

Найти

$$n$$

Внешний угол $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ , поэтому $n = \dfrac{360^\circ}{90^\circ} = 4$ — это квадрат.

Ответ

Почему так

Число сторон равно 360°, делённым на внешний угол.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задача 3

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 135°?

Решение

Дано

$\alpha_n = 135^\circ$

Найти

$$n$$

Внешний угол $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ , поэтому $n = \dfrac{360^\circ}{45^\circ} = 8$ .

Проверка: $\dfrac{8 - 2}{8} \cdot 180^\circ = 135^\circ$ .

Ответ

Почему так

Число сторон равно 360°, делённым на внешний угол.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задача 4

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 150°?

Решение

Дано

$\alpha_n = 150^\circ$

Найти

$$n$$

Внешний угол $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ , поэтому $n = \dfrac{360^\circ}{30^\circ} = 12$ .

Проверка: $\dfrac{12 - 2}{12} \cdot 180^\circ = 150^\circ$ .

Ответ

Почему так

Число сторон равно 360°, делённым на внешний угол.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки