Задача 1
Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.
Решение
Дано: правильный многоугольник, \(m_1\) и \(m_2\) — серединные перпендикуляры к двум его сторонам. Доказать: \(m_1\) и \(m_2\) пересекаются или совпадают.
-
Около правильного многоугольника можно описать окружность; пусть \(O\) — её центр. Точка \(O\) равноудалена от всех вершин.
-
Возьмём сторону \(AB\). Так как \(OA = OB\), точка \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(AB\) (это множество точек, равноудалённых от его концов). Значит, серединный перпендикуляр к любой стороне проходит через \(O\).
-
Тогда \(m_1\) и \(m_2\) — две прямые с общей точкой \(O\). Две прямые с общей точкой либо пересекаются в ней, либо совпадают. Параллельными они быть не могут.
Совпадают они, например, у квадрата или правильного шестиугольника для противоположных сторон.
Ответ
Центр описанной окружности равноудалён от концов каждой стороны и потому лежит на всех серединных перпендикулярах к сторонам.
Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».