Задача 1
Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
Решение
Дано: правильный многоугольник, \(l_1\) и \(l_2\) — прямые, содержащие биссектрисы двух его углов. Доказать: \(l_1\) и \(l_2\) пересекаются или совпадают.
-
В правильный многоугольник можно вписать окружность; пусть \(O\) — её центр. Точка \(O\) равноудалена от всех сторон многоугольника.
-
Возьмём угол многоугольника при вершине \(A\). Точка \(O\) лежит внутри этого угла и равноудалена от его сторон, поэтому лежит на его биссектрисе. Значит, биссектриса любого угла проходит через \(O\).
-
Прямые \(l_1\) и \(l_2\) имеют общую точку \(O\), поэтому они либо пересекаются в ней, либо совпадают, но не параллельны.
Совпадают они, например, у квадрата для противоположных углов: обе биссектрисы лежат на одной диагонали.
Ответ
Центр вписанной окружности равноудалён от сторон каждого угла и поэтому лежит на биссектрисах всех углов.
Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».