Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 116

Упражнение 1176 к § 116

§ 116. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности · тема: Площадь и сторона правильного многоугольника

Задача 1

Условие (кратко)

Квадрат вписан в окружность радиуса R (рис. 347, а). Строка 1 таблицы — дано a₄ = 6. Найдите R, r, P и S (r — радиус вписанной окружности).

Решение

Дано

квадрат
$$a_4 = 6$$

Найти

$$R$$
$$r$$
$$P$$
$$S$$

Для квадрата $a_4 = R\sqrt{2}$ , $r = R\cos 45^\circ = \dfrac{a_4}{2}$ , $$P = 4a_4$$ , $$S = a_4^2$$ .

$R = \dfrac{a_4}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ , $r = \dfrac{6}{2} = 3$ , $P = 4 \cdot 6 = 24$ , $$S = 6^2 = 36$$ .

Ответ

R = 3√2, r = 3, P = 24, S = 36

Почему так

У квадрата сторона равна R√2, а радиус вписанной окружности — половине стороны.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 2

Условие (кратко)

Квадрат вписан в окружность радиуса R (рис. 347, а). Строка 2 таблицы — дано r = 2. Найдите R, a₄, P и S.

Решение

Дано

квадрат
$$r = 2$$

Найти

$$R$$
$$a_4$$
$$P$$
$$S$$

Вписанная окружность касается сторон в серединах, а её диаметр равен стороне квадрата: $$a_4 = 2r = 4$$ .

$R = \dfrac{a_4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ , $P = 4 \cdot 4 = 16$ , $$S = 4^2 = 16$$ .

Ответ

R = 2√2, a₄ = 4, P = 16, S = 16

Почему так

Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности, а диагональ — диаметру описанной.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 3

Условие (кратко)

Квадрат вписан в окружность радиуса R (рис. 347, а). Строка 3 таблицы — дано R = 4. Найдите r, a₄, P и S.

Решение

Дано

квадрат
$$R = 4$$

Найти

$$r$$
$$a_4$$
$$P$$
$$S$$

$a_4 = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ , $r = R\cos 45^\circ = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ .

$P = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ , $S = (4\sqrt{2})^2 = 32$ .

Ответ

r = 2√2, a₄ = 4√2, P = 16√2, S = 32

Почему так

Формулы aₙ = 2R·sin(180°/n) и r = R·cos(180°/n) при n = 4 дают a₄ = R√2 и r = R√2/2.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 4

Условие (кратко)

Квадрат вписан в окружность радиуса R (рис. 347, а). Строка 4 таблицы — дано P = 28. Найдите R, r, a₄ и S.

Решение

Дано

квадрат
$$P = 28$$

Найти

$$R$$
$$r$$
$$a_4$$
$$S$$

$a_4 = \dfrac{P}{4} = 7$ , $r = \dfrac{a_4}{2} = 3{,}5$ , $R = \dfrac{a_4}{\sqrt{2}} = \dfrac{7\sqrt{2}}{2} = 3{,}5\sqrt{2}$ , $$S = 7^2 = 49$$ .

Ответ

R = 3,5√2, r = 3,5, a₄ = 7, S = 49

Почему так

Сторона квадрата — четверть периметра, дальше R = a₄/√2 и r = a₄/2.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 5

Условие (кратко)

Квадрат вписан в окружность радиуса R (рис. 347, а). Строка 5 таблицы — дано S = 16. Найдите R, r, a₄ и P.

Решение

Дано

квадрат
$$S = 16$$

Найти

$$R$$
$$r$$
$$a_4$$
$$P$$

$a_4 = \sqrt{S} = 4$ , $R = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ , $r = \dfrac{4}{2} = 2$ , $P = 4 \cdot 4 = 16$ .

Ответ

R = 2√2, r = 2, a₄ = 4, P = 16

Почему так

Сторона квадрата равна корню из площади, остальное — по формулам для квадрата.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Похожие задачи для тренировки