Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 116

Упражнение 1177 к § 116

§ 116. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности · тема: Площадь и сторона правильного многоугольника

Задача 1

Условие (кратко)

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса R (рис. 347, б). Строка 1 таблицы — дано R = 3. Найдите r, a₃, P и S.

Решение

Дано

правильный треугольник
$$R = 3$$

Найти

$$r$$
$$a_3$$
$$P$$
$$S$$

При $$n = 3$$ : $a_3 = 2R\sin 60^\circ = R\sqrt{3}$ , $r = R\cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$ , площадь $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a_3^2$ .

$$r = 1{,}5$$ , $a_3 = 3\sqrt{3}$ , $P = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ , $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 27 = \dfrac{27\sqrt{3}}{4}$ .

Ответ

r = 1,5, a₃ = 3√3, P = 9√3, S = 27√3/4

Почему так

У правильного треугольника a₃ = R√3 и r = R/2.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 2

Условие (кратко)

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса R (рис. 347, б). Строка 2 таблицы — дано S = 10. Найдите R, r, a₃ и P.

Решение

Дано

правильный треугольник
$$S = 10$$

Найти

$$R$$
$$r$$
$$a_3$$
$$P$$

$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a_3^2 = 10$ , отсюда $a_3^2 = \dfrac{40}{\sqrt{3}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}$ и $a_3 = 2\sqrt{\dfrac{10\sqrt{3}}{3}} \approx 4{,}81$ .
$P = 3a_3 = 6\sqrt{\dfrac{10\sqrt{3}}{3}} \approx 14{,}42$ .
$R = \dfrac{a_3}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}} \approx 2{,}77$ , $r = \dfrac{R}{2} = \dfrac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}} \approx 1{,}39$ .

Ответ

R = (2/3)·√(10√3) ≈ 2,77; r = (1/3)·√(10√3) ≈ 1,39; a₃ = 2√(10√3/3) ≈ 4,81; P = 6√(10√3/3) ≈ 14,42

Почему так

Сторону находим из формулы площади правильного треугольника S = a²√3/4, остальное — через a₃ = R√3 и r = R/2.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 3

Условие (кратко)

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса R (рис. 347, б). Строка 3 таблицы — дано r = 2. Найдите R, a₃, P и S.

Решение

Дано

правильный треугольник
$$r = 2$$

Найти

$$R$$
$$a_3$$
$$P$$
$$S$$

$r = R\cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$ , поэтому $$R = 2r = 4$$ . Тогда $a_3 = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ , $P = 12\sqrt{3}$ .

$S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 2 = 12\sqrt{3}$ .

Ответ

R = 4, a₃ = 4√3, P = 12√3, S = 12√3

Почему так

У правильного треугольника R = 2r, а площадь удобно найти по формуле S = Pr/2.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 4

Условие (кратко)

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса R (рис. 347, б). Строка 4 таблицы — дано a₃ = 5. Найдите R, r, P и S.

Решение

Дано

правильный треугольник
$$a_3 = 5$$

Найти

$$R$$
$$r$$
$$P$$
$$S$$

$R = \dfrac{a_3}{\sqrt{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ , $r = \dfrac{R}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{6}$ .

$P = 3 \cdot 5 = 15$ , $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 25 = \dfrac{25\sqrt{3}}{4}$ .

В ответах учебника указано $R = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ — это опечатка: при таком $$R$$ радиус $$r$$ был бы $\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$ , а не $\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$ , как там же записано.

Ответ

R = 5√3/3, r = 5√3/6, P = 15, S = 25√3/4

Почему так

Из a₃ = R√3 получаем R = a₃/√3, а r = R/2.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 5

Условие (кратко)

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса R (рис. 347, б). Строка 5 таблицы — дано P = 6. Найдите R, r, a₃ и S.

Решение

Дано

правильный треугольник
$$P = 6$$

Найти

$$R$$
$$r$$
$$a_3$$
$$S$$

$a_3 = \dfrac{6}{3} = 2$ , $R = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ , $r = \dfrac{R}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

$S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ .

Ответ

R = 2√3/3, r = √3/3, a₃ = 2, S = √3

Почему так

Сторона — треть периметра, R = a₃/√3, r = R/2, площадь — S = Pr/2.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Похожие задачи для тренировки