Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 116

Упражнение 1182 к § 116

Задача 1

Условие (кратко)

Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ правильный, $$R$$ и $$r$$ — радиусы описанной и вписанной окружностей. Доказать: $$R = 2r$$ .

Центры обеих окружностей совпадают с центром $$O$$ треугольника. Пусть $$H$$ — середина стороны $$AB$$ , тогда $$OH = r$$ , $$OA = R$$ и $OH \perp AB$ .
Луч $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$ , поэтому $\angle OAH = 60^\circ : 2 = 30^\circ$ .
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ катет $$OH$$ лежит против угла $30^\circ$ и равен половине гипотенузы $$OA$$ : $r = \dfrac{R}{2}$ , то есть $$R = 2r$$ .

То же получается из формулы $r = R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$ при $$n = 3$$ : $r = R\cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$ .

Ответ

Утверждение доказано: R = 2r

Почему так

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет против этого угла равен половине гипотенузы — отсюда r = R/2.