Главная Учебники Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.) § 116 Упражнение 1183
Задача 1
Условие (кратко)
Найдите площадь S правильного n-угольника, если n = 4, R = 3√2 см.
Решение
Дано \(n = 4\) \(R = 3\sqrt{2}\) см\(a_4 = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6\) см, \(S = a_4^2 = 36\) см².
Ответ
36 см²
Задача 2
Условие (кратко)
Найдите площадь S правильного n-угольника, если n = 3, P = 24 см.
Решение
\(a_3 = 24 : 3 = 8\) см. Радиус вписанной окружности \(r = \dfrac{R}{2} = \dfrac{a_3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{8}{2\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) см.
\(S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}\) см².
Ответ
16√3 см² ≈ 27,7 см²
Задача 3
Условие (кратко)
Найдите площадь S правильного n-угольника, если n = 6, r = 9 см.
Решение
\(r = R\cos 30^\circ\) , поэтому \(R = \dfrac{9}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\) см, а \(a_6 = R = 6\sqrt{3}\) см.
\(P = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\) см, \(S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 9 = 162\sqrt{3}\) см².
Ответ
162√3 см² ≈ 280,6 см²
Задача 4
Условие (кратко)
Найдите площадь S правильного n-угольника, если n = 8, r = 5√3 см.
Решение
Дано \(n = 8\) \(r = 5\sqrt{3}\) см
\(R = \dfrac{r}{\cos 22{,}5^\circ}\) , \(a_8 = 2R\sin 22{,}5^\circ = 2r\,\mathrm{tg}\,22{,}5^\circ\) .
\(P = 8a_8 = 16r\,\mathrm{tg}\,22{,}5^\circ\) , \(S = \dfrac{1}{2}Pr = 8r^2\,\mathrm{tg}\,22{,}5^\circ\) .
\(r^2 = 75\) , \(\mathrm{tg}\,22{,}5^\circ = \sqrt{2} - 1\) , поэтому \(S = 8 \cdot 75 \cdot (\sqrt{2} - 1) = 600(\sqrt{2} - 1) \approx 248{,}53\) см².
Ответ
600(√2 − 1) см² ≈ 248,53 см²
Похожие задачи для тренировки
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/p116/upr-1183/