Задача 1
Условие (кратко)
Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
Решение
Дано
- \(a_3 = a_4 = a_6 = a\)
Найти
- \(S_3 : S_4 : S_6\)
-
\(S_3 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\).
-
\(S_4 = a^2\).
-
Шестиугольник делится отрезками от центра на 6 правильных треугольников со стороной \(a\) (так как \(a_6 = R\)): \(S_6 = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).
-
\(S_3 : S_4 : S_6 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} : 1 : \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\). Умножим всё на 4: \(\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}\).
Ответ
S₃ : S₄ : S₆ = √3 : 4 : 6√3
Почему так
При равных сторонах площади пропорциональны коэффициентам √3/4, 1 и 3√3/2.
Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».