Задача 1
Условие (кратко)
Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.
Решение
Дано
- окружность радиуса \(\rho\); шестиугольник 1 вписан в неё
- шестиугольник 2 описан около неё
Найти
- \(S_1 : S_2\)
-
У вписанного шестиугольника радиус описанной окружности равен \(\rho\), поэтому его сторона \(a_1 = \rho\).
-
У описанного шестиугольника радиус вписанной окружности равен \(\rho\). Из \(r = R\cos 30^\circ\): \(R_2 = \dfrac{2\rho}{\sqrt{3}}\), а сторона \(a_2 = R_2 = \dfrac{2\rho}{\sqrt{3}}\).
-
Правильные шестиугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения сторон:
\[\dfrac{S_1}{S_2} = \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}.\]
Ответ
3 : 4
Почему так
Отношение сторон вписанного и описанного шестиугольников равно cos30° = √3/2, а площади относятся как квадраты сторон.
Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».