Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 116

Упражнение 1187 к § 116

Задача 1

Условие (кратко)

Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника через радиус r вписанной окружности.

Решение

Дано

Найти

$r = R\cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$ , поэтому $$R = 2r$$ .
$a_3 = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\,r$ , $P = 3a_3 = 6\sqrt{3}\,r$ .
$S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3}\,r \cdot r = 3\sqrt{3}\,r^2$ .

Ответ

a₃ = 2√3·r, P = 6√3·r, S = 3√3·r²

Почему так

У правильного треугольника R = 2r и a₃ = R√3, площадь — по формуле S = Pr/2.

Условие (кратко)

Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника через радиус R описанной окружности.

Решение

Дано

Найти

$a_3 = 2R\sin 60^\circ = \sqrt{3}\,R$ , $P = 3\sqrt{3}\,R$ .
$r = R\cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$ , $S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3}\,R \cdot \dfrac{R}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2$ .

Ответ

a₃ = √3·R, P = 3√3·R, S = (3√3/4)·R²

Почему так

Формулы aₙ = 2R·sin(180°/n) и r = R·cos(180°/n) при n = 3 и площадь S = Pr/2.