Задача 1
Правильный восьмиугольник A₁A₂…A₈ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A₃A₄A₇A₈ — прямоугольник, и выразите его площадь через R.
Решение
- правильный восьмиугольник \(A_1A_2 \ldots A_8\) вписан в окружность с центром \(O\) радиуса \(R\). Доказать: \(A_3A_4A_7A_8\) — прямоугольник
- его площадь
-
Вершины делят окружность на 8 равных дуг по \(360^\circ : 8 = 45^\circ\). От \(A_3\) до \(A_7\) — четыре такие дуги, \(4 \cdot 45^\circ = 180^\circ\), поэтому \(A_3A_7\) — диаметр. Так же \(A_4A_8\) — диаметр.
-
Диагонали четырёхугольника \(A_3A_4A_7A_8\) — два диаметра: они равны (\(2R\)) и точкой \(O\) делятся пополам. Четырёхугольник с равными диагоналями, которые делятся точкой пересечения пополам, — прямоугольник.
-
Его стороны: \(A_3A_4 = a_8 = 2R\sin 22{,}5^\circ\) (сторона восьмиугольника), \(A_4A_7\) стягивает дугу \(3 \cdot 45^\circ = 135^\circ\), центральный угол \(135^\circ\), поэтому \(A_4A_7 = 2R\sin 67{,}5^\circ = 2R\cos 22{,}5^\circ\).
-
\(S = A_3A_4 \cdot A_4A_7 = 4R^2\sin 22{,}5^\circ\cos 22{,}5^\circ\). Проще иначе: диаметры делят прямоугольник на 4 треугольника с вершиной \(O\), у которых две стороны равны \(R\), а угол между ними \(45^\circ\) или \(135^\circ\), \(\sin 45^\circ = \sin 135^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда
\[S = 4 \cdot \dfrac{1}{2}R^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,R^2.\]
Ответ
A₃A₇ и A₄A₈ — диаметры, а площадь складывается из четырёх треугольников с двумя сторонами R и углом 45° или 135°.
Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».