Упражнение 1189 к § 117

Пусть дана окружность с центром \(O\) радиуса \(R\) (если центр не отмечен, найдите его как точку пересечения серединных перпендикуляров к двум хордам).

1. Отметьте на окружности произвольную точку \(A_1\).

2. Раствор циркуля сделайте равным радиусу \(R\). Из \(A_1\) засечкой на окружности получите \(A_2\), из \(A_2\) — \(A_3\), и так далее до \(A_6\).

3. Соедините последовательно \(A_1, A_2, \ldots, A_6\) отрезками.

Почему получилось: сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу, \(a_6 = 2R\sin 30^\circ = R\). Каждая хорда \(A_kA_{k+1} = R\) стягивает дугу \(60^\circ\), шесть таких дуг — вся окружность, поэтому шестая засечка вернётся точно к \(A_1\).

1. Постройте на окружности точки \(A_1, A_2, \ldots, A_6\), как в пункте а): шесть засечек раствором циркуля, равным радиусу.

2. Соедините через одну точки \(A_1\), \(A_3\), \(A_5\).

Почему получилось: дуги \(A_1A_3\), \(A_3A_5\), \(A_5A_1\) равны по \(2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\), а равные дуги стягиваются равными хордами. Значит, \(A_1A_3 = A_3A_5 = A_5A_1\), треугольник равносторонний, то есть правильный (его сторона \(R\sqrt{3}\)).

1. Проведите через центр \(O\) прямую — она пересечёт окружность в концах диаметра \(A\) и \(C\).

2. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку \(AC\): окружности с центрами \(A\) и \(C\) одного радиуса, большего \(R\), пересекаются в двух точках; прямая через них проходит через \(O\) перпендикулярно \(AC\).

3. Этот перпендикуляр пересечёт окружность в точках \(B\) и \(D\). Соедините \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).

Почему получилось: диаметры \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны, поэтому четыре центральных угла по \(90^\circ\) и четыре дуги равны. Равные дуги стягиваются равными хордами — все стороны равны. Диагонали равны (оба — диаметры), значит, это ромб с равными диагоналями, то есть квадрат.

1. Впишите квадрат \(ABCD\), как в пункте в).

2. Постройте серединные перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(BC\) (они проходят через \(O\)). Их продолжения за \(O\) служат серединными перпендикулярами к \(CD\) и \(DA\).

3. Эти прямые пересекают окружность в серединах дуг \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) — точках \(M\), \(N\), \(K\), \(L\).

4. Соедините последовательно \(A, M, B, N, C, K, D, L\).

Почему получилось: серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр и делит пополам стягиваемую ею дугу. Каждая дуга \(90^\circ\) делится на две по \(45^\circ\), восемь равных дуг дают восемь равных хорд, а все вершины на окружности — значит, восьмиугольник правильный (задача 2 п. 117: из \(n\)-угольника строим \(2n\)-угольник).