Упражнение 1193 к § 118

Для правильного треугольника \(a = R\sqrt{3}\) (формула стороны правильного многоугольника), откуда \(R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}\).

\(C = 2\pi R = \dfrac{2\pi a\sqrt{3}}{3}\).

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, поэтому \(R = \dfrac{c}{2}\), где \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) по теореме Пифагора.

\(C = 2\pi R = \pi c = \pi\sqrt{a^2 + b^2}\).

Высота к основанию \(h = \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}\).

Площадь \(S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}\). По формуле \(R = \dfrac{abc}{4S}\):

\(R = \dfrac{a \cdot b \cdot b}{a\sqrt{4b^2 - a^2}} = \dfrac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}\).

\(C = 2\pi R = \dfrac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}\).

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому эта точка — центр описанной окружности, а половина диагонали — радиус \(R\).

Меньшая сторона лежит против меньшего (острого) угла \(\alpha\) в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами \(R\). Его высота делит угол и сторону пополам: \(\dfrac{a}{2} = R\sin\dfrac{\alpha}{2}\), откуда \(R = \dfrac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).

\(C = 2\pi R = \dfrac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}\).

Шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников со стороной \(a\), поэтому \(S = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).

\(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 24\sqrt{3}\), откуда \(a^2 = 16\), \(a = 4\) см.

У правильного шестиугольника \(R = a = 4\) см, поэтому \(C = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25{,}1\) см.