Упражнение 1194 к § 118

Вписанная окружность касается всех сторон, её диаметр равен расстоянию между противоположными сторонами, то есть \(a\). Значит, \(r = \dfrac{a}{2}\) и \(C = 2\pi r = \pi a\).

Катеты равны: \(a^2 + a^2 = c^2\), \(a = \dfrac{c}{\sqrt{2}} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}\).

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, \(r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{c\sqrt{2} - c}{2} = \dfrac{c(\sqrt{2} - 1)}{2}\).

\(C = 2\pi r = \pi c(\sqrt{2} - 1)\).

Катеты: \(a = c\sin\alpha\), \(b = c\cos\alpha\).

\(r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{c(\sin\alpha + \cos\alpha - 1)}{2}\).

\(C = 2\pi r = \pi c(\sin\alpha + \cos\alpha - 1)\).

В прямоугольном \(\triangle ABH\): \(AH = BH \cdot \operatorname{ctg}\alpha = h\operatorname{ctg}\alpha\).

Центр \(O\) вписанной окружности лежит на высоте \(BH\) (она же биссектриса) и на биссектрисе угла \(A\). Тогда \(OH = r\) и в прямоугольном \(\triangle AOH\) угол \(OAH = \dfrac{\alpha}{2}\):

\(r = AH \cdot \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2} = h\operatorname{ctg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

\(C = 2\pi r = 2\pi h\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\alpha\).