Упражнение 1207 к § 120

Центр описанной окружности — точка пересечения диагоналей, радиус — половина диагонали: \(R = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\).

\(S = \pi R^2 = \dfrac{\pi(a^2 + b^2)}{4}\).

Гипотенуза \(c = \dfrac{a}{\sin\alpha}\), она же диаметр описанной окружности: \(R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}\).

\(S = \pi R^2 = \dfrac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}\).

Боковая сторона \(b = \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{a^2 + 4h^2}}{2}\), площадь треугольника \(\dfrac{ah}{2}\).

\(R = \dfrac{a \cdot b \cdot b}{4 \cdot \frac{ah}{2}} = \dfrac{b^2}{2h} = \dfrac{a^2 + 4h^2}{8h}\).

\(S = \pi R^2 = \dfrac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}\).

В ответах учебника квадрат в числителе потерян: \(\dfrac{\pi(a^2 + 4h^2)}{64h^2}\) — это опечатка (проверка: при \(a = 6\), \(h = 4\) треугольник со сторонами 5, 5, 6 имеет \(R = 3{,}125\)).