Упражнение 1208 к § 120

Для правильного треугольника \(r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}\) (формула \(a = 2r\operatorname{tg}60^\circ\)).

\(S = \pi r^2 = \dfrac{\pi a^2}{12}\).

Второй катет \(b = a\operatorname{tg}\alpha\), гипотенуза \(c = \dfrac{a}{\cos\alpha}\).

\(r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{a(\sin\alpha + \cos\alpha - 1)}{2\cos\alpha}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sin\alpha + \cos\alpha + 1\); так как \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha\), получим \(r = \dfrac{a\sin\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha + 1}\).

\(S = \pi r^2 = \dfrac{\pi a^2\sin^2\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha + 1)^2}\).

Площадь треугольника \(\dfrac{1}{2}a^2\sin\alpha\). Высота к основанию делит угол \(\alpha\) пополам, поэтому основание \(2a\sin\dfrac{\alpha}{2}\), а полупериметр \(p = a + a\sin\dfrac{\alpha}{2}\).

\(r = \dfrac{S_\triangle}{p} = \dfrac{a\sin\alpha}{2\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right)}\).

\(S = \pi r^2 = \dfrac{\pi a^2\sin^2\alpha}{4\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right)^2}\).

Пусть \(b\) — меньшее основание, \(c\) — боковая сторона. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: \(a + b = 2c\). Проекция боковой стороны на основание \(c\cos\alpha = \dfrac{a - b}{2}\), то есть \(a - b = 2c\cos\alpha\).

Сложив, получим \(2a = 2c(1 + \cos\alpha)\), \(c = \dfrac{a}{1 + \cos\alpha}\).

Высота \(h = c\sin\alpha = \dfrac{a\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = a\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\), а диаметр вписанной окружности равен высоте: \(r = \dfrac{a}{2}\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

\(S = \pi r^2 = \dfrac{\pi a^2}{4}\operatorname{tg}^2\dfrac{\alpha}{2}\).