Задача 1
На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах.
Решение
Дано: прямоугольный треугольник с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\); на сторонах как на диаметрах построены полукруги. Доказать: \(S_c = S_a + S_b\).
Площадь полукруга с диаметром \(d\) — половина площади круга радиуса \(\dfrac{d}{2}\):
\(\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi d^2}{8}\).
Поэтому \(S_a + S_b = \dfrac{\pi a^2}{8} + \dfrac{\pi b^2}{8} = \dfrac{\pi(a^2 + b^2)}{8}\).
По теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = c^2\), значит, \(S_a + S_b = \dfrac{\pi c^2}{8} = S_c\).
Ответ
Площадь полукруга пропорциональна квадрату диаметра, дальше — теорема Пифагора.
Подробнее — в теме «Площадь круга и кругового сектора».