Задача 1
Квадрат со стороной a (рис. 354): в каждом углу закрашена четверть круга с центром в вершине и радиусом a/2, в середине остаётся белая «звезда». Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение
- квадрат со стороной \(a\); дуги с центрами в вершинах проходят через середины сторон
- площадь закрашенной фигуры
Каждая закрашенная часть — сектор радиуса \(\dfrac{a}{2}\) с дугой \(90^\circ\), то есть четверть круга. Четыре такие четверти вместе дают целый круг радиуса \(\dfrac{a}{2}\):
\(S_{\text{закр}} = \pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi a^2}{4}\).
Белая фигура в середине — квадрат без этих секторов: \(a^2 - \dfrac{\pi a^2}{4} = \dfrac{4 - \pi}{4}a^2\).
В ответах учебника указано \(\dfrac{4 - \pi}{4}a^2\) — это площадь незакрашенной «звезды»; на рисунке учебника закрашены угловые секторы, их площадь \(\dfrac{\pi a^2}{4}\).
Ответ
Четыре сектора по 90° с одинаковым радиусом a/2 складываются в целый круг.
Подробнее — в теме «Площадь круга и кругового сектора».