Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что площадь кругового сектора радиуса R с дугой радианной меры φ равна S = φR²/2.
Решение
Дано: сектор радиуса \(R\), радианная мера дуги \(\varphi\). Доказать: \(S = \dfrac{\varphi R^2}{2}\).
Площадь сектора с дугой в \(\alpha\) градусов: \(S = \dfrac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha\).
Дуге в \(\varphi\) радиан соответствует градусная мера \(\alpha = \dfrac{180}{\pi}\varphi\). Подставим:
\(S = \dfrac{\pi R^2}{360} \cdot \dfrac{180\varphi}{\pi} = \dfrac{\varphi R^2}{2}\).
Другой взгляд: полный круг — это сектор с \(\varphi = 2\pi\), и его площадь \(\dfrac{2\pi R^2}{2} = \pi R^2\), как и должно быть.
Ответ
Формула S = φR²/2 доказана
Почему так
Достаточно перевести радианы в градусы, α = 180φ/π, и подставить в формулу площади сектора.
Подробнее — в теме «Площадь круга и кругового сектора».