Докажите, что при осевой симметрии плоскости прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии.
Решение
Дано: осевая симметрия с осью \(a\), прямая \(b \parallel a\). Доказать: \(b\) отображается на прямую, параллельную \(a\).
Пусть \(d\) — расстояние между параллельными прямыми \(a\) и \(b\). Проведём по другую сторону от \(a\) прямую \(b_1 \parallel a\) на том же расстоянии \(d\).
Возьмём любую точку \(M \in b\) и её образ \(M_1\). Отрезок \(MM_1\) перпендикулярен \(a\), и его середина \(H\) лежит на \(a\). Значит, \(M_1\) лежит по другую сторону от \(a\) и \(M_1H = MH = d\), то есть \(M_1\) удалена от \(a\) на \(d\) и лежит на \(b_1\) (все точки этой полуплоскости, удалённые от \(a\) на \(d\), лежат на \(b_1\)).
Обратно, для любой точки \(P_1 \in b_1\) симметричная ей точка \(P\) удалена от \(a\) на \(d\) и лежит по другую сторону, то есть на \(b\); при симметрии \(P\) переходит в \(P_1\).
Итак, все точки \(b\) переходят в точки \(b_1\), и каждая точка \(b_1\) — образ точки \(b\). Прямая \(b\) отображается на прямую \(b_1 \parallel a\).
Ответ
Утверждение доказано — образ прямой — прямая, параллельная оси на том же расстоянии
Почему так
Симметричные точки удалены от оси на одно и то же расстояние, а точки, удалённые от прямой на d по одну сторону, образуют параллельную ей прямую.
Докажите, что при осевой симметрии плоскости прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.
Решение
Дано: осевая симметрия с осью \(a\), прямая \(b \perp a\). Доказать: \(b\) отображается на себя.
Возьмём любую точку \(M \in b\). Если \(M\) лежит на \(a\), она неподвижна. Иначе её образ \(M_1\) лежит на перпендикуляре к \(a\), проведённом через \(M\) (так как \(MM_1 \perp a\)).
Через точку \(M\) проходит только одна прямая, перпендикулярная \(a\), — это \(b\). Значит, \(M_1 \in b\).
Обратно, любая точка \(P \in b\) — образ симметричной ей точки, которая по пункту 1–2 тоже лежит на \(b\).
Поэтому прямая \(b\) отображается на себя.
Ответ
Утверждение доказано — прямая, перпендикулярная оси, переходит в себя
Почему так
Отрезок между симметричными точками перпендикулярен оси, а через точку проходит единственный перпендикуляр к прямой.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).