Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 122

Упражнение 1241 к § 122

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что при центральной симметрии плоскости прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

Решение

Дано: центральная симметрия с центром $$O$$ , прямая $$b$$ , $O \notin b$ . Доказать: $$b$$ отображается на прямую, параллельную $$b$$ .

Возьмём на $$b$$ точку $$A$$ , её образ — $$A_1$$ , и проведём через $$A_1$$ прямую $b_1 \parallel b$ . Так как $$O$$ — середина $$AA_1$$ и $O \notin b$ , точка $A_1 \notin b$ , поэтому $b_1 \ne b$ .
Пусть $$M$$ — любая другая точка $$b$$ , $$M_1$$ — её образ. В треугольниках $$OAM$$ и $$OA_1M_1$$ : $$OA = OA_1$$ , $$OM = OM_1$$ , $\angle AOM = \angle A_1OM_1$ (вертикальные). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle OAM = \angle OA_1M_1$ .
Это накрест лежащие углы при прямых $$AM$$ и $$A_1M_1$$ и секущей $$AA_1$$ , значит, $A_1M_1 \parallel AM$ , то есть $A_1M_1 \parallel b$ . Через $$A_1$$ проходит только одна прямая, параллельная $$b$$ , поэтому $M_1 \in b_1$ .
Обратно, любая точка $P_1 \in b_1$ — образ симметричной ей точки $$P$$ ; применив те же рассуждения к прямой $$b_1$$ (она не проходит через $$O$$ ), получим $P \in b$ .

Итак, $$b$$ отображается на прямую $b_1 \parallel b$ .

Ответ

Утверждение доказано — образ прямой — параллельная ей прямая

Почему так

Равенство треугольников OAM и OA₁M₁ даёт равные накрест лежащие углы, откуда A₁M₁ ∥ AM.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Условие (кратко)

Докажите, что при центральной симметрии плоскости прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Решение

Дано: центральная симметрия с центром $$O$$ , прямая $$b$$ , $O \in b$ . Доказать: $$b$$ отображается на себя.

Центр $$O$$ неподвижен. Для любой другой точки $M \in b$ её образ $$M_1$$ лежит на прямой $$OM$$ (так как $$O$$ — середина $$MM_1$$ ), а прямая $$OM$$ — это $$b$$ . Значит, $M_1 \in b$ .
Обратно, любая точка $P \in b$ — образ симметричной ей точки, которая по пункту 1 тоже лежит на $$b$$ .

Поэтому прямая $$b$$ отображается на себя.

Ответ

Утверждение доказано — прямая, проходящая через центр, переходит в себя

Почему так

Точка, её образ и центр симметрии лежат на одной прямой.

Подробнее — в теме «Понятие движения».