Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 123, упражнение 1242

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол (в учебнике дано решение; докажите и случай развёрнутого угла).

Решение

Дано: движение, угол $$AOB$$ переходит в угол $$A_1O_1B_1$$ , $A \to A_1$ , $O \to O_1$ , $B \to B_1$ . Доказать: $\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB$ .

Движение сохраняет расстояния: $$O_1A_1 = OA$$ , $$O_1B_1 = OB$$ , $$A_1B_1 = AB$$ .
Если угол $$AOB$$ неразвёрнутый, точки $$A$$ , $$O$$ , $$B$$ не лежат на одной прямой и образуют треугольник. Тогда $\triangle AOB = \triangle A_1O_1B_1$ по трём сторонам, и $\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB$ .
Если угол $$AOB$$ развёрнутый, точка $$O$$ лежит на отрезке $$AB$$ : $$AO + OB = AB$$ . Те же длины у образов, поэтому $$A_1O_1 + O_1B_1 = A_1B_1$$ , и $$O_1$$ лежит на отрезке $$A_1B_1$$ (иначе было бы $$A_1O_1 + O_1B_1 > A_1B_1$$ ). Значит, лучи $$O_1A_1$$ и $$O_1B_1$$ дополнительные и угол $$A_1O_1B_1$$ тоже развёрнутый, то есть равен $180^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано — угол переходит в равный угол

Почему так

Равные расстояния дают равные треугольники по трём сторонам; развёрнутый угол сохраняется, потому что точка на отрезке переходит в точку на отрезке.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Упражнение 1242 к § 123

Задача 1

Похожие задачи для тренировки